上海財經大學2022年碩士學位研究生初試自命題科目考試大綱《601 數學分析》

　　《數學分析》考試是為招收數學各專業學生而設置的具有選拔功能的業務水平考試。它的主要目的是測試考生對數學分析各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。

　　一、考試基本要求

　　要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

　　二、考試方法

　　和考試時間數學分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。

　　三、考試主要內容和考試要求

　　（一）極限和函數的連續性

　　1.考試主要內容

　　映射與函數；數列的極限、函數的極限；連續函數、函數的連續性和一致連續性；R中的點集、實數系的連續性；函數和連續函數的各種性質。

　　2.考試要求

　　（1） 透徹理解和掌握數列極限，函數極限的概念。掌握并能運用 ε-N，ε-X， ε-δ 語言處理極限問題。熟練掌握數列極限與函數極限的概念和關系；掌握無窮小量的概念及基本性質。

　　（2） 熟練掌握極限的性質及四則運算性質，能夠熟練運用兩面夾逼原理和熟練掌握兩個重要極限來處理極限問題。

（3）   熟練掌握實數系的基本定理：區間套定理，確界存在定理，單調有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆蓋定理，Cauchy 收斂準則。

　　（4） 熟練掌握函數連續性的概念及相關的不連續點類型。能夠熟練運用函數連續的四則運算與復合運算性質，掌握 Heine 歸結定理。（5）熟練掌握閉區間上連續函數的性質：有界性定理、最值定理、介值定理；了解 Cantor 定理。

　　（二）一元函數微分學

　　1.考試主要內容

　　微分的概念、導數的概念、微分和導數的意義；求導運算；微分運算；微分中值定理；洛必達法則、泰勒展式；導數的應用。

　　2.考試要求

　　（1） 理解導數和微分的概念及其相互關系，理解函數可導性與連續性之間的關系。

　　（2） 熟練掌握函數導數與微分的運算法則，包括高階導數的運算法則、復合函數求導法則，會求分段函數的導數。理解單側導數、可導性與連續性的關系，掌握導數的幾何應用。

　　（3） 熟練掌握 Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理以及

　　Taylor 展式。

　　（4） 能夠用導數研究函數的單調性、極值，最值和凸凹性及其應用。

　　（5） 掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。

　　（三）一元函數積分學

　　1.考試主要內容

　　定積分的概念、性質和微積分基本定理；不定積分和定積分的計算；定積分的應用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。

　　2.考試要求

　　（1） 理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會求初等函數、有理函數和三角有理函數的積分。

　　（2） 掌握定積分的概念，包括 Darboux 和，上、下積分及可積條件與可積函數類。

　　（3） 掌握定積分的性質，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。

　　（4） 能用定積分表達和計算如下幾何量：平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉體的體積，平行截面面積，已知的立體體積。

　　（5） 理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel 判別法和 Dirichlet 判別法；積分第二中值定理。掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。

　　（四）無窮級數1.考試主要內容

　　數項級數的概念、數項級數斂散的判別法；級數的絕對收斂和條件收斂；函數項級數的收斂和一致收斂及其性質、收斂性的判別；冪級數及其性質、泰勒級數和泰勒展開。

　　2.考試要求

　　（1） 理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質。

　　（2） 熟練掌握正項級數斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy 判別法，

　　D‘Alembert 判別法與積分判別法。

　　（3） 熟練掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系。熟練掌握交錯級數的 Leibnitz 判別法。掌握絕對收斂級數的性質。

（4）     熟練掌握函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的 Weierstrass 判別法。Abel 判別法、Cauchy 收斂原理、Dirichlet 判別法。熟練掌握函數項級數一致收斂性的性質及其應用。

　　（5） 掌握冪級數及其收斂半徑的概念，包括 Cauchy-Hadamard 定理和 Abel 第一定理。

　　（6） 熟練掌握冪級數的性質。能夠將函數展開為冪級數。（7）掌握三角函數系的正交性與函數的傅里葉（Fourier）級數的概念與性質；掌握傅里葉級數收斂性判別法的應用；能將一些函數展開成傅里葉級數并應用。

　　（五）多元函數微分學與積分學

　　1.考試主要內容

　　多元函數的極限與連續、全微分和偏導數的概念、重積分的概念及其性質、重積分的計算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和判別。

　　2.考試要求

　　（1） 掌握平面及Rn空間點集的基本概念，多元函數的極限，累次極限，連

　　續性概念；掌握多元函數極限、連續與一致連續概念及其性質，偏導數、方向導數、高階偏導數和全微分等概念以及和連續關系，會求多元函數的極限、偏導數、方向導數、高階偏導數和全微分。

　　（2） 掌握隱函數存在定理。會求隱函數的導數；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程

　　（3） 會求多元函數條件極值和無條件極值，了解偏導數的幾何應用。

　　（4） 熟練掌握重積分（包括廣義的）、兩類曲線積分和兩類曲面積分的概念與計算，會求圖形的面積，體積。

　　（5） 熟練掌握 Gauss 公式、Green 公式和 Stoks 公式及其應用。

　　（六）含參變量積分

　　1.考試主要內容

　　含參變量積分的概念、性質。

　　2.考試要求

　　（1）熟練掌握含參變量常義積分的概念與性質。

　　（2）熟練掌握含參量積分的計算。

　　（3）Euler 積分。