上海財經(jīng)大學2022年碩士學位研究生初試自命題科目考試大綱《807 高等代數(shù)》

　　《高等代數(shù)》考試是為招收數(shù)學各專業(yè)學生而設置的具有選拔功能的業(yè)務水平考試。它的主要目的是測試考生對高等代數(shù)各項內(nèi)容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。

　　一、考試基本要求

　　要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有相應的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

　　二、考試方法和考試時間高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。

　　三、考試主要內(nèi)容和考試要求

　　（一）多項式

　　1.主要考試內(nèi)容

　　數(shù)域；一元多項式及其整除的概念；最大公因式；因式分解；多項式函數(shù)；復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解；有理系數(shù)多項式。

　　2.考試要求

　　（1） 理解數(shù)域的概念，判別數(shù)集是否是數(shù)域。

　　（2） 理解一元多項式的概念，掌握多項式的基本運算及運算前后次數(shù)的關系。

　　（3） 理解整除的概念，掌握整除的一些基本性質。

　　（4） 理解最大公因式的概念及基本結論，掌握求最大公因式的計算方法(輾轉相除法)。

　　（5） 理解并掌握不可約多項式的定義及其基本性質、因式分解定理。

　　（6） 理解并掌握多項式函數(shù)的概念、余數(shù)定理、多項式根(零點)及重根的概念。

　　（7） 理解代數(shù)基本定理、復系數(shù)多項式的因式分解及實系數(shù)多項式的因式分解定理。

　　（8） 理解有理系數(shù)多項式與整系數(shù)多項式的關系；理解本原多項式的概念及其基本性質。

　　（9） 掌握整系數(shù)多項式有有理根的必要條件及 Eisenstein 判別法。

　　（二）行列式

　　1.主要考試內(nèi)容

　　排列與逆序的概念；n 階行列式的定義及基本性質；行列式的展開定理；行列式的基本計算方法；克萊姆法則；Laplace 展開定理

　　2.考試要求

　　（1） 理解排列與逆序的概念、對換的概念與性質。

　　（2） 理解 n 階行列式的定義，熟練運用定義計算一些特殊行列式.；熟練掌握行列式的基本性質。

　　（3） 理解行列式的余子式與代數(shù)余子式的概念；理解行列式按一行一列展開的公式；掌握范德蒙行列式的結論, 并由此計算一些范德蒙型行列式的值。

　　（4） 掌握行列式的基本計算方法：三角化，展開法，遞推法，歸納法，加邊法，析因子法等。

　　（5） 掌握克萊姆法則及相關結論。

　　（6） 理解子式及其余子式、代數(shù)余子式的概念；掌握行列式乘法規(guī)則(聯(lián)系矩陣乘法的行列式)。

　　（三）矩陣

　　1.主要考試內(nèi)容

　　矩陣及其基本運算；矩陣的逆；矩陣的初等變換與初等矩陣；矩陣的分塊。

　　2.考試要求

　　（1） 理解矩陣的概念；了解一些特殊矩陣的結構。

　　（2） 理解逆矩陣的定義及其基本性質、矩陣乘積的行列式的結論；

　　（3） 理解伴隨矩陣的定義及性質；掌握逆矩陣存在的充分必要條件及用伴隨矩陣表示逆矩陣的公式。

　　（4） 掌握矩陣的初等變換定義；掌握線性方程組的矩陣描述以及高斯消元法與初等變換的關系；掌握用初等變換求逆矩陣的方法。

　　（5） 掌握矩陣的分塊表示；理解矩陣分塊的目的；掌握分塊矩陣的基本運算以及塊初等變換在分塊矩陣上的應用。

　　（四）線性方程組

　　1.主要考試內(nèi)容

　　向量的線性相關性；矩陣的秩；線性方程組

　　2.考試要求

　　（1） 理解n維向量的概念。

　　（2） 理解向量組的線性組合、向量（組）的線性表出以及向量組等價等概念；

　　理解向量的線性表出與線性方程組是否有解的等價關系. 理解向量組的線性相關性概念、向量組的線性相關性與齊次線性方程組是否有非零解的等價關系。

　　（3） 理解向量組的極大線性無關組與秩的概念，并熟知有關結論；理解矩陣秩的概念及其與子式的關系。

　　（4） 理解秩在初等變換下的不變性，掌握用初等變換法求矩陣的秩以及向量組的秩. 熟知矩陣秩的有關結論。

　　（5） 理解線性方程組解的結構與齊次線性方程組的基礎解系的概念; 掌握用初等變換方法，求齊次與非齊次線性方程組的通解（包括含參數(shù)的方程組）。

　　（五）線性空間1.主要考試內(nèi)容

　　線性空間的定義；基與維數(shù)；線性子空間；線性空間的同構；子空間的和與直和。

　　2.考試要求

　　（1） 熟知線性空間的定義及其一些簡單性質; 熟知一些常見的線性空間。

　　（2） 理解線性空間基與維數(shù)的本質含義；熟知一些常見線性空間中的基和它們的維數(shù)；理解坐標的概念；理解過渡矩陣的概念，熟知基變換公式與坐標變換的公式。

　　（3） 理解線性子空間的概念以及關于線性運算的封閉性的本質；熟知生成子空間的概念及有關性質；理解子空間的交與和的概念，熟知維數(shù)公式；理解子空間直和的概念，熟知子空間構成直和的各充分必要條件。

　　（4） 了解映射、1-1 對應以及逆映射的概念；理解線性空間同構的概念；理解n維線性空間到Pn的同構映射與同構關系。

　　（六）線性變換1.主要考試內(nèi)容

　　線性變換及基本運算；線性變換的矩陣；特征值與特征向量；矩陣的對角化；不變子空間；最小多項式

　　2.考試要求

　　（1） 理解線性變換的概念, 熟知一些線性變換的基本性質；熟知線性變換的線性運算與乘法運算及其運算規(guī)律。

　　（2） 理解線性變換的矩陣的概念, 理解線性變換與矩陣的 1-1 對應關系，以及運算間的對應關系。能夠熟練寫出線性變換在基下的矩陣；理解線性變換在不同基下的矩陣間的相似性關系。

　　（3） 理解線性變換和矩陣的特征值特征向量的概念, 理解線性變換與對應矩陣的特征值特征向量的關系；掌握特征值與特征向量的計算方法；熟知特征值特征向量的基本性質，理解矩陣的相似性在特征值問題上的不變性；了解

　　Hamilton-Caylay 定理的結論。

　　（4） 熟知矩陣相似于對角矩陣的條件及對應于線性變換的結論；理解特征子空間的概念及特征值的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)的概念。

　　（5） 理解線性變換（矩陣）值域與核的概念, 理解有關性質與結論；理解線性變換（矩陣）不變子空間的概念，了解有關性質與結論。

　　（6） 理解和掌握矩陣的最小多項式的概念及其基本性質.

　　（七）內(nèi)積空間

　　1.主要考試內(nèi)容內(nèi)積空間的概念；標準正交基；標準正交基；同構；正交變換；實對稱矩陣的標準形；向量到子空間的距離及最小二乘法

　　2.考試要求

　　（1） 理解向量內(nèi)積的定義及其基本性質。理解向量長度和距離的概念；熟知一些常見的內(nèi)積空間。

　　（2） 理解向量正交的概念、（標準）正交基的概念；掌握向量組的標準正交化過程。

　　（3） 理解正交矩陣的概念及其性質、正交變換的概念及其性質。

　　（4） 理解正交補空間的概念；熟知正交補空間的性質；了解正交投影的概念。

　　（5） 了解對稱變換的概念；熟知實對稱矩陣的特征值特征向量的性質；掌握對稱矩陣正交相似于對角矩陣的計算方法。

　　（6） 了解向量到子空間的距離及最小二乘法。

　　（八）二次型

　　1.主要考試內(nèi)容

　　二次型的概念；二次型的標準形；二次型的規(guī)范形；正定性

　　2.考試要求

　　（1） 掌握二次型及其矩陣表示；理解二次型的非退化線性替換與矩陣合同的聯(lián)系。

　　（2） 理解二次型標準形的概念及其結論；掌握化二次型為標準形的基本方法：配方法，初等變換法，正交變換法。

　　（3） 理解二次型的慣性定理及規(guī)范形的唯一性。

　　（4） 理解正（半）定二次型與正（半）定矩陣等概念；掌握正定矩陣的幾個充分必要條件及判別方法。

　　（九）?-- 矩陣

　　1.主要考試內(nèi)容

　　?-矩陣的概念；?-矩陣的標準形；三個因子；Jordan 標準形；矩陣的有

　　理標準形

　　2.考試要求

　　（1）理解?-矩陣的定義以及有關基本性質.；理解?-矩陣可逆的條件。

　　（2）掌握?-矩陣的初等變換（初等矩陣）以及等價的概念；理解?-矩陣的

　　標準形定義，掌握化?-矩陣為標準形的方法。（3）理解?-矩陣的行列式因子、不變因子的概念以及相互關系；理解行列式因子、不變因子的不變性性質；理解特征矩陣的的概念以及初等因子概念；理解上述三種因子的相互關系，并掌握計算這些因子的方法；理解矩陣相似的條件。

　　（4） 理解矩陣的 Jordan 標準形概念以及相關結論；掌握 Jordan 標準形的求法。

　　（5） 理解矩陣的有理標準形的概念及有關結論.